Эпюра материалов - это эпюра изгибающих моментов, выдерживаемых сечением элемента.
Эпюра материалов наглядно показывает для каждого сечения элемента превышение величины изгибающего момента, соответствующего площади сечения арматуры , по сравнению с его теоретическим значением.
Рис. 11.14. Построение эпюры материалов
Порядок определения места фактического обрыва продольных стержней в пролете следующий:
1. На эпюру моментов от внешних нагрузок (см. рисунок 11.14.) наносят ординаты момента, воспринимаемого нормальным сечением элемента с продольной арматурой, которую доводят до торца элемента (т.е. несущая способность данного сечения).
2. Точки пересечения эпюры расчетных моментов с эпюрой обрываемой арматуры определяет места теоретического обрыва стержней. Места действительного обрыва стержней отстоят от теоретической точки на величину , которая определяется как:
Рис. 11.19. Эпюра материалов
Чем ближе эпюра моментов фактически установленной продольной арматуры примыкает к теоретической огибающей эпюре моментов, тем большую получают экономию арматуры.
С этой целью рекомендуется в растянутой зоне изгибаемых элементов устанавливать не менее 4 стержней, чтобы 2 из них можно было оборвать в пролете. Высоту сжатой зоны определяют из условия равновесия проекций усилий в бетоне и арматуре наклонного сечения на продольную ось элемента, т.е.:
При наличии отгибов несущая способность будет следующей:
По СП 52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры» по п.6.2.33. расчет изгибаемых железобетонных элементов по бетонной полосе между наклонными сечениями производят из условия 6.65
Расчет изгибаемых элементов по наклонному сечению на действие поперечных сил (п. 6.2.34) производят из условия , причем поперечную силу Q b определяют по формуле 6.67
Усилие Q sw для поперечной арматуры определяют по формуле 6.68
Расчет железобетонных элементов по наклонным сечениям на действие моментов производят по п. 6.2.35.
По формуле 6.73 , при этом (допускается принимать ), а ()
Конструктивные требования
1. Анкеровка ненапрягаемой арматуры
По п.5.14 СНиП 2.03.01-84* «Бетонные и железобетонные конструкции» продольные стержни растянутой и сжатой арматуры должны быть заведены за нормальное к продольной оси элемента сечение, в котором они учитываются с полным расчетным сопротивлением, на длину не менее , определяемую по формуле
где значения , а также допускаемые минимальные величины определяются по табл. 37. При этом гладкие арматурные стержни должны оканчиваться крюками или иметь приваренную поперечную арматуру по длине заделки. К величине R b допускается вводить коэффициенты условий рабо-ты бетона, кроме .
В случае, когда анкеруемые стержни поставлены с запасом по площади сечения против требуемой расчетом по прочности с полным расчетным сопротивлением, вычисленную по формуле (11.7) длину анкеровки допускается уменьшать, умножая на отношение необходимой по расчету и фактичес-кой площадей сечения арматуры.
Если по расчету вдоль анкеруемых стержней об-разуются трещины от растяжения бетона, то стерж-ни должны быть заделаны в сжатую зону бетона на длину , определяемую по формуле (11.7).
При невозможности выполнения указанных тре-бований должны быть приняты меры по анкеровке продольных стержней для обеспечения их работы с полным расчетным сопротивлением в рассматри-ваемом сечении (постановка косвенной арматуры, приварка к концам стержней анкерующих пластин или закладных деталей, отгиб анкерующих стерж-ней). При этом величина должна быть не менее 10 d .
По п.5.15 для обеспечения анкеровки всех продоль-ных стержней арматуры, заводимых за грань опоры, на крайних свободных опорах изгибаемых элемен-тов должны выполняться следующие требования:
а) если соблюдаются условия , длина за-пуска растянутых стержней за внутреннюю грань свободной опоры должна составлять не менее 5 d ;
б) если условия не соблюдаются, длина запуска стержней за внутреннюю грань свободной опоры должна быть не менее 10 d .
По п.5.20 (а также по п.8.3.7 СП 52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры») в балках шириной свыше 150 мм число про-дольных рабочих стержней, заводимых за грань опо-ры, должно быть не менее двух. В ребрах сборных панелей, настилов, часторебристых перекрытий и т. п. шириной 150 мм и менее допускается доведе-ние до опоры одного продольного рабочего стержня.
В плитах расстояния между стержнями, заводи-мыми за грань опоры, не должны превышать 400 мм, причем площадь сечения этих стержней на 1 м ширины плиты должна составлять не менее 1/3 площади сечения стержней в пролете, опреде-ленной расчетом по наибольшему изгибающему моменту (аналогично п. 8.3.8 7 СП 52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры»).
По п.5.21 в изгибаемых элементах при высоте сече-ния свыше 700 мм у боковых граней должны ставится конструктивные продольные стержни с расстояниями между ними по высоте не более 400 мм, по ширине — половине ширины ребре элемента, но не более 200 мм.
По пп.5.26, 5.27 ,5.28 в балочных конструкциях высотой свыше 150 мм, а также в многопустотных плитах (или аналогичных часторебристых конструкциях) высо-той свыше 300 мм должна устанавливаться поперечная арматура.
Поперечная арматура в балочных и плитных конструкциях, устанавлива-ется:
На приопорных участках, равных при равно-мерно распределенной нагрузке 1/4 пролета, а при сосредоточенных нагрузках — расстоянию от опоры до ближайшего груза, но не менее 1/4 проле-та, с шагом:
при высоте , то же при
На остальной части пролета при высоте сечения элемента h свыше 300 мм устанавливается попе-речная арматура с шагом не более 3/4 h и не бо-лее 500 мм.
Поперечная арматура, предусмотренная для восприятия поперечных сил, должна иметь на-дежную анкеровку по концам путем приварки или охвата продольной арматуры, обеспечивающую равнопрочность соединений и хомутов.
По СП 52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры» по п.8.3.8 в балках до опоры следует доводить стрежни продольной рабочей арматуры с площадью сечения не менее ½ площади сечения стержней и не менее двух стержней.
По п.8.3.11 в железобетонных элементах, в которых поперечная сила по расчету не может быть воспринята только бетоном, предусматривают установку арматуры с шагом и .
В балках и ребрах высотой 150 мм и более, а также в часторебристых плитах высотой 300 мм и более, на участках элемента, где поперечная сила по расчету воспринимается только бетоном, следует предусматривать установку поперечной арматуры с шагом и
Базовую длину анкеровки определяют по п. 8.3.21 по формулам 8.1-8.2.
где - соответственно площадь поперечного сечения анкеруемого стержня арматуры и периметр его сечения, определяемые по номинальному диаметру стержня;
Расчетное сопротивление сцепления арматуры с бетоном, принимаемое равномерно распределенным по длине анкеровки и определяемое по формуле 8.2.
Расчетное сопротивление бетона осевому растяжению;
Коэффициент, учитывающий влияние вида поверхности арматуры ();
Коэффициент, учитывающий влияние размера диаметра арматуры.
Требуемую расчетную длину анкеровки арматуры с учетом конструктивного решения определяют по формуле 8.3
где - площади поперечного сечения арматуры соответственно требуемая по расчету и фактически установленная;
Коэффициент, учитывающий влияние на длину анкеровки напряженного состояния бетона и арматуры.
Допускается уменьшать длину анкеровки в зависимости от количества и диаметра арматуры, вида анкерующих устройств и величины поперечного обжатия бетона в зоне анкеровки, но не более чем на 30%.
Фактическую длину анкеровки принимают
ИЗГИБАЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, АРМИРОВАННЫЕ ЖЕСТКОЙ АРМАТУРОЙ
Совместное деформирование жесткой арматуры и бетона сохраняется вплоть до разрушения элементов. В период разрушения несущая способность жесткой арматуры и бетона сжатой зоны используется полностью; при этом несущая способность элементов не зависит от первоначальных напряжений в арматуре, приобретенных ею в процессе возведения конструкций.
В элементах, армированных низкими профилями, для связи бетона сжатой зоны сечения с жесткой арматурой к последней приваривают специальные анкерные стержни или устанавливают хомуты. При отсутствии связи бетона сжатой зоны с жесткой арматурой разрушение элемента происходит от среза бетона сдвигающими силами по плоскости контакта с жесткой арматурой.
Рис. 11.20. Армирование элемента жесткой арматурой с низким профилем
1 - сжатая зона сечения;
В элементах, армированных высокими профилями (почти на всю высоту сечения), совместность деформирования обеспечивается и при отсутствии хомутов, т.к. сплошная металлическая стенка полностью воспринимает поперечную силу.
Рис. 11.21. Армирование элемента жесткой арматурой с высоким профилем
1 - сжатая зона сечения;
До бетонирования элементов жесткую арматуру рассчитывают по нормам проектирования стальных конструкций на воздействие нагрузок, возникающих в процессе возведения зданий (от бетона и опалубки, транспорта и т.д.)
Расчет сечений изгибаемых элементов с жесткой арматурой ведут по аналогии с расчетом изгибаемых элементов с гибкой арматурой, при этом учитывая сопротивление стального профиля.
Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N.
Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями .
Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.
Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений: она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.
Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.
Правила построения эпюр продольных сил:
Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.
В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т.е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т.е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.
Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.
Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.
Правила построения эпюр нормальных напряжений:
Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.
На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле
Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.
При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.
∆l = l – l 0 - абсолютное удлинение.
относительное удлинение или продольная деформация.
Закон Гука при растяжении – сжатии:
Е – модуль упругости первого рода, характеризует жесткость материала.
Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:
Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и
нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня
Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.
На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.
Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность контролируется так: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.
Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.
На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле
Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.
Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука.
Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом: найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.
Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.
Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.
Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.
При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.
В формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.
- 1. Задача по теоретической механике;
- 2. Собственно задача по сопромату.
- 1. Задача по теоретической механике. Прежде всего, необходимо установить характер рассматриваемого элемента и тип его связей. В основном в сопромате строительной и теоретической механике рассматриваются следующие элементы (системы) (рис. 6): а) балка; б) рама; в) ферма.
эпюра изгибающий момент сила
Связи - это способы закрепления систем в пространстве. Условно предполагается, что система крепится к земле и (или) стене. В сопромате теор. и строй. механике рассматриваются три основных типа связей.
- 1) Жёсткая опора (рис. 7 а)). При нагрузке на неё, такая опора может давать две реакции Y и X, направленные вдоль одноимённых осей.
- 2) Плавающая опора (рис. 7 б)). Такая опора может давать при нагрузке только одну реакцию R, направление которой зависит от положения опоры в пространстве и всегда параллельно стержню опоры.
- 3) Жёсткая заделка (рис. 7 в)). Жёсткая заделка может давать три реакции Y, X и M.
Задачей теоретической механики является определение реакций связей.
Система, если она находится в покое, должна находиться в равновесии. Т. е. сумма сил, действующих на систему, должна быть равна нулю (рис. 8). Кроме того должна быть равна сумма моментов, создаваемых этими силами (рис. 8). Моментом силы называется произведение силы на плечё. Плечём силы называется расстояние (перпендикулярное силе) от точки приложения силы до точки, относительно которой вычисляется момент.
Из рис. 8 легко видеть, что при вычислении момента от силы Р1 относительно точки 2, плечём для силы Р1 является расстояние l.
В теоретической механике приняты следующие правила знаков для сил и моментов:
Если сила направлена вверх - она положительна;
если сила направлена вниз - она отрицательна;
- -если момент стремится повернуть систему против часовой стрелки, он считается положительным;
- -если момент стремится повернуть систему по часовой стрелке, он считается отрицательным.
Пример определения реакций связей. Прежде всего, следует задаться вопросом «Зачем для того, чтобы построить эпюры усилий, возникающих в балке, определять реакции связей?». Для ответа на этот вопрос, рассмотрим нагруженную балку рис. 9.
Разобьём данную балку на участки. Участком является часть балки, на которой действующие силы не изменяются. Рассмотрим балку по ходу с лева на право. На участке 1-2 оказывает воздействие только сила -Р (минус потому, что сила направлена вниз). Вполне очевидно, что в точке 2 участок 1-2 заканчивается т. к. в точке 2 кроме силы Р будет действовать сила Y2 (реакция опоры 2). Таким образом на участке 2-3 действует сила, равная -P+Y2. Участок 2-3 заканчивается в точке 3 т. к. здесь добавляется распределённая нагрузка и q и сосредоточенный момент М. Аналогично можно разбить данную балку на участки рассматривать её и с права на лево. Участки удобнее всего обозначать парой чисел, как это сделано на рис. 9. Для этого необходимо выделить характерные сечения балки (в которых происходит изменение действующих нагрузок) и обозначить их цифрами, например 1, 2, 3, 4. Тогда участки соответственно получат обозначения 1-2, 2-3, 3-4.
Для построения эпюр M, Q или N необходимо определить все действующие на систему силы. То есть необходимо определить реакции связей.
Для определения реакций связей составим уравнения равновесия сил относительно осей x и y и уравнение равновесия моментов, относительно любой точки. Вообще для составления уравнения равновесия моментов можно выбрать любую точку балки. Однако, для упрощения решения, рекомендуется выбрать точку, в которой действует наибольшее количество неизвестных сил. В рассматриваемом примере такой точкой, очевидно, является точка 2.
Изначально нам неизвестно направление реакций связей. Можно только сказать, что опора 2 - является жёсткой опорой и может дать две реакции Y2 и X2, которые направлены вдоль осей x и y, а опора 4 - это плавающая опора, она может дать только одну реакцию R, которая может быть направлена, в данном случаи, либо вверх, либо вниз.
Выберем направление реакций связей произвольно. Пусть реакции Y2 и R направлены вверх, а реакция X2 -в право. Истинное направление той или иной реакции определяется при решении уравнений равновесия. Если искомая реакция получилась со знаком «-», то на самом деле она направлена в противоположную сторону, чем предполагалось. Если же знак перед реакцией окажется «+», значит направление реакции выбрано верно.
Запишем уравнения равновесия:
Для составления уравнений равновесия распределённую нагрузку q необходимо заменить сосредоточенной силой Q. Сосредоточенная сила равна, где - длина на которой действует распределённая нагрузка. Направлена сила Q должна быть из середины центра тяжести эпюры распределённой нагрузки. Для прямоугольной нагрузки по центру, для треугольной на расстоянии 1/3 длины от основания треугольника (рис. 10).
Для представления понятия распределённой нагрузки, в качестве примера, можно рассмотреть собственный вес балки. Т. е. в каждом элементарном сечении балки действует, как бы маленькая сила. В данной задаче на участке 3-4 распределённая нагрузка имеет значение 5кН/м - это фактически означает, что на каждый метр данного участка действует сила в 5кН.
Очевидно, что в уравнении только одна неизвестная, значит, её можно вычислить:
Зная R4 из уравнения можно легко выразить Y2:
Из уравнения вполне понятно, что X2=0. В данной задаче это было очевидно с самого начала т. к. X2 -это единственная реакция связи вдоль оси x и действующих сил вдоль оси x нет.
Запишем уравнения равновесия, с учётом того, что уравнение моментов составлено относительно опоры 4:
Для решения равенства относительно Y2 все остальные члены равенства перенесём в правую часть (как известно при этом их знаки поменяются).
Затем потребуется разделить правую часть на 2м:
Для того что бы избавиться от «-» перед Y2 умножим обе части равенства на -1, получим: . Таким образом, можно не составляя уравнения равновесия моментов, сразу выразить Y2. Принцип очень прост:
- -направляем реакцию левой опоры Y2 вверх (понятно, что создаваемый ею момент будет иметь знак «-»);
- -пишем «Y2=»;
- -далее записываем значения моментов, которые вызваны остальными действующими силами с соблюдением правил знаков моментов в теор. механике (не забываем заменять распред. нагрузку сосредоточенной силой Q) ;
- -затем правую часть делим на плечё силы Y2 (в данном примере плечё равно 2м).
- -в результате должно получиться равенство: .
- -подставляем в это равенство числовые значения, находим Y2 .
Приобретя некоторый опыт в определении реакций опор, можно и реакцию R находить сразу без составления уравнения:
Как видно из решения перед обеими реакциями связей получился знак «+», следовательно, направления реакций выбраны верно.
2. Собственно задача по сопромату. Значения и направления реакций связей были определены ранее в «задаче по теоретической механике». На расчётной схеме необходимо точно указать истинное направление реакций связей.
Для построения эпюр Q и M достаточно следовать нижеуказанным принципам (эпюры N и M(кручение) не рассматриваем т. к. продольные усилия и крутящие моменты отсутствуют).
На каждом участке величины Q и М имеют следующие зависимости от x:
Сосредоточенная сила в начале участка;
Сосредоточенный момент в начале участка.
Фактически построение эпюр Q и M сводится к определению зависимостей Q и М от x на каждом участке. Для этого достаточно определить величины, и.
При этом в сопромате и строй. механике существуют следующие правила знаков (рис. 11):
- -если сила в начале участка стремится повернуть участок по часовой стрелке, то данная сила положительна;
- -если сила в начале участка стремится повернуть участок против часовой стрелки, то такая сила отрицательна.
- -если момент сжимает верхние волокна участка, а нижние растягивает, то такой момент положителен;
- -если момент сжимает нижние волокна участка, а верхние растягивает, то такой момент отрицателен;
Руководствуясь вышеуказанными правилами для каждого участка рассматриваемой системы определяют, и находят зависимости Q и М.
Определяют направление хода. Рассматривать любую систему можно либо слева на право, либо с права на лево (определить знаки при этом можно по рис. 11).
Определение q. q на участке учитывается, только при наличии распределённой нагрузки. Если таковая отсутствует, то q=0. Если на участке имеется распределённая нагрузка, то q равно значению этой нагрузки. Так в данном примере на участке 3-4 q=5кН/м. Далее определяется знак q по правилам знаков по рис. 11.
Например, если рассматривать участок с лево на право, то в уравнении, q имеет знак «-», и в уравнении, тоже знак «-».
Если же рассматривать данный участок справа на лево, то в уравнении, q будет иметь знак «+», а в уравнении, знак «-».
Определение Q0. Для определения Q0 можно воспользоваться следующей формулой:
Q0=, где -сумма всех сил с предыдущих участков. При этом если ход решения производится с лева на право, то учитываются все силы предыдущих участков с лева от рассматриваемого участка, если с право на лево, то соответственно справа. Так для участка 3-4, при ходе слева на право: , а при рассмотрении этого же участка с права на лево: . При определении Q0 знаки определяются по рис. 11 точно так же как и для q. Очень важным здесь является учёт действия распределённой нагрузки. Так, при ходе решения справа на лево, Q0 на участке 3-2 будет определяться по формуле:
Где xq -длина действия распределённой нагрузки (рис. 9).
Определение М0. Для определения М0 можно воспользоваться следующим рассуждением: М0 =(значение момента на котором закончился предыдущий участок)+(сосредоточенный момент в начале участка). В данном примере сосредоточенный момент есть только в сечении 3. Например, для участка 3-4 при ходе слева на право, здесь - момент на котором закончился участок 2-3, -сосредоточенный момент в начале участка 3-4. При ходе справа на лево для участка 3-2 , здесь - момент на котором закончился участок 4-3, - сосредоточенный момент в начале участка 3-2.
Определение экстремума. На участке где имеется распред. нагрузка эпюра M будет иметь параболическое очертание (очертание в виде дуги) (см. рис. 12). При этом может получится так, что значение момента в какой либо части участка больше чем в его начале или конце. Такая выпуклость на эпюре моментов называется экстремум. Наличие экстремума определить не трудно. Эпюра Q где есть распред. нагрузка будет иметь вид функции имеющей линейную зависимость (наклонная прямая). Если на данном участке эпюра Q проходит через ноль, то на эпюре моментов есть экстремум. При том экстремум находится как раз в той точке участка, где Q=0. Вообще, между функциями М и Q существует дифференциальная зависимость. Т. е. функция Q является производной функции M. Как известно из курса школьной математики: там, где производная равна нулю, функция имеет экстремальное (max или min) значение.
Для определения экстремального момента находится значение xэ на участке при котором М=Мэ. Значение xэ определяется из уравнения. Как уже было сказано выше в точке экстремума, тогда, отсюда. Затем подставляется в формулу М и находится Мэ:
При построении эпюры удобнее уметь делать ход как слева на право, так и с права на лево.
При определении Q и М в характерных сечениях, рекомендуется ставить соответствующие индексы Q1, Q2(л), М1, М2(п) и т. д. Буквы «л» и «п» в индексах означают, что в данном сечении на эпюре Q или М имеется скачёк (в одной точке эпюра Q или М имеет два значения). При этом одно значение Q или М условно относят к левой части «л», а другое к правой «п».
Пример построения эпюр Q и М (рис. 12):
На участке 4-3 есть экстремум т. к. эпюра Q на этом участке проходит через ноль.
Построение эпюр внутренних усилий (продольной силы)
Эпюрой называется графическое изображение закона изменения внутренних усилий по длине стержня.
Эпюры внутренних усилий строят для того, что бы определить опасные сечения стержня, т.е. сечения, в которых внутренние усилия достигают наибольших значений, поскольку существует большая вероятность наступления разрушения в этих сечениях.
Построение эпюры продольной силыПод действием внешних нагрузок, направленных вдоль оси стержня, или нагрузок, равнодействующая которых направлена также вдоль продольной оси, в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила (N ). Такая деформация стержня называется осевое растяжение (сжатие).
Эпюрой продольной силы N называется графическое изображение закона её изменения по длине бруса.
Правило знаков:
Растягивающая продольная сила, т.е. направленная от сечения, считается положительной, а сжимающая, т.е. направленная к сечению - отрицательной.
Рис.2.1 Правило знаков
Величина и направление продольной силы в сечениях стержня определяются с помощь метода сечений (см. п. 1.3) .
Продольная сила в поперечных сечениях стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось стержня, приложенных к рассматриваемой отсеченной части.
Порядок построения эпюры продольной силы (N )
1. Изображается расчетная схема бруса с указанием численных значений приложенных нагрузок и геометрических размеров бруса.
2. Брус разбивается на участки, границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил, а так же начало и конец распределенной нагрузки.
3. Для каждого участка из уравнения равновесия записывается аналитическое выражение продольной силы согласно (2.1) и вычисляются все её значения, необходимые для построения эпюры, обычно в начале и конце участка.
4. Проводится ось (база) эпюры, параллельно оси бруса. Значения продольной силы для каждого участка откладываются перпендикулярно оси в масштабе. Положительные значения выше оси, отрицательные – ниже.
5. На эпюре ставятся её знаки: «+» или «», она штрихуется прямыми параллельными линиями, перпендикулярными оси.
6. Проводится проверка правильности построения эпюры.
Для исключения ошибки при составлении уравнения равновесия следует неизвестное внутреннее усилие принимать всегда положительным, так как знак усилия, полученный из решения, позволяет установить, правилен ли был сделан выбор направления силы N , и какой вид деформации при этом возникает – растяжение, если значение N положительно, или сжатие, если отрицательно.
Пример №2.1 : Построить эпюру продольной силы для бруса жестко закрепленного левым концом, на который действуют осевые силы F 1 , F 2 , F 3 (рис 2.2) .
Рис. 2.2 Расчетная схема бруса
Внешние осевые нагрузки делят брус на три участка. Пронумеруем участки со свободного конца. Определим величину продольной силы с помощью метода сечений, а направление в соответствии с правилом знаков.
Эпюра строится под расчетной схемой. Проводится проверка правильности построения эпюры.
Рис. 2.3 К примеру №2.1. Эпюра продольной силы.
При расчете на прочность необходимо знать закон изменения внутренних усилий в поперечных сечениях балки по ее длине, возникающих от действующей на балку нагрузки. Этот закон можно выразить в виде аналитических зависимостей и изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами.
Эпюрой изгибающих моментов (эпюрой ) называется график, изображающий закон изменения величин этих моментов по длине балки. Аналогично эпюрой поперечных сил (эпюрой Q) или эпюрой продольных сил (эпюрой N) называется график, изображающий изменение поперечных или продольных сил по длине балки.
Каждая ордината эпюры М (или Q, или N) представляет собой величину изгибающего момента (или поперечной силы, или продольной силы) в соответствующем поперечном сечении балки.
Разберем на конкретных примерах построение эпюр для балок, находящихся под действием системы сил, расположенных в одной плоскости (параллельной плоскости чертежа).
Построим эпюры Q и М для консольной балки, заделанной правым концом, изображенной на рис. 10.7, а.
Назовем участком балки каждую ее часть, в пределах которой законы изменения поперечной силы и изгибающего момента остаются постоянными. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции) или в которых начинается либо заканчивается распределенная нагрузка, или в которых интенсивность этой нагрузки начинает изменяться по новому закону.
Рассматриваемая балка имеет четыре участка I, II, III и IV, показанных на рис. 10.7, а.
Составим [на основании формул (3.7) и (2.7)] выражения поперечной силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки на расстоянии х от ее левого конца.
Участок :
Здесь -равнодействующая равномерно распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной участка I. Она приложена посредине этого отрезка, а потому ее момент относительно рассматриваемого сечения равен Знак поперечной силы отрицателен потому, что проекция равнодействующей направлена вниз; знак изгибающего момента отрицателен потому, что момент действует против часовой стрелки.
В окончательные выражения значение подставляется в метрах, так как интенсивность q выражена в
Полученные выражения Q и действительны в пределах участка I, т. е. при расстоянии имеющем значения в пределах от 0 до
Зависимость от линейная, а потому для построения эпюры Q на участке достаточно определить величины при двух значениях
при (в начале участка I)
при (в конце участка I)
Зависимость М от не линейная, а квадратичная. Для построения эпюры М на участке вычисляем величины при трех значениях
По полученным значениям на рис. 10.7, б, в, построены эпюры Q и М для участка балки (прямая и кривая )
Ординаты эпюр, соответствующие положительным значениям внутренних усилий, откладываем вверх от осей этих эпюр, а отрицательным - вниз (оси эпюр параллельны оси балки). При таком построении ординаты эпюр М получаются расположенными со стороны сжатых волокон балки.
где расстояние выражено в метрах.
При (в начале участка II)
при (в конце участка )
По полученным значениям на рис. 10.7,б,в построены эпюры Q и М для участка II балки (прямые к и Участок III:
При (в начале участка III)
при (в конце участка III)
По полученным значениям на рис. 10.7, б,в построены эпюры Q и М для III участка балки (прямые и с). Участок IV:
По полученным значениям на рис. 10.7,б,в построены эпюры Q и М для участка IV балки (прямые ).
Изгибающие моменты и поперечные силы в поперечных сечениях можно определить и через правые внешние силы, используя зависимости Но для этого требуется найти значения опорных реакций в заделке В балки.
Выделим теперь из балки часть CD длиной (рис. 10.7, а) и приложим к ней все действующие на нее внешние силы (рис. 10.7, г). К ним относятся сила и момент а также силы и моменты, приложенные к рассматриваемой части в поперечных сечениях С и эти силы и моменты равны поперечным силам и изгибающим моментам в сечениях С и D и представляют собой воздействие частей АС и DB на часть
Поперечная сила в сечении С балки, как это видно из эпюры Q (рис. 10.7,б), равна и отрицательна; в соответствии с принятым правилом знаков она стремится вращать часть CD балки против часовой стрелки, относительно некоторой точки Е балки (рис. 10.7, г) и, следовательно, должна быть направлена вниз. Поперечная сила QD в сечении D положительна, равна (рис. 10.7,б) и, следовательно, стремится вращать часть CD балки по часовой стрелке относительно точки?; поэтому она должна быть направлена вниз (рис. 10.7, г).
Изгибающие моменты и MD в сечениях С и D равны соответственно т. е. они отрицательны (рис. 10.7, в); следовательно, оба они вызывают сжатие нижних и растяжение верхних волокон балки. В соответствии с этим момент направлен против часовой стрелки, а момент часовой стрелке.
Убедимся в том, что выделенная часть CD балки находится в равновесии. Для этого составим три уравнения равновесия всех действующих на нее сил (см. рис. 10.7, г):
Равенство нулю значений и свидетельствует о равновесии части CD балки.
На рис. 10.7, (3 показаны внутренние усилия, действующие в сечении В балки, совпадающем с заделанным ее концом. Их величины и направления установлены по эпюрам Q и М (рис. 10.7, б,в). Они представляют собой реакции защемления В балки.
Из эпюры Q (рис. 10.7, б) видно, что в сечении F балки, в котором к ней приложена сосредоточенная сила значение поперечной силы изменяется скачкообразно от до т. е. на величину Р.
Это является следствием того, что в выражение составляемое для сечения, расположенного на расстоянии левее силы Р, эта сила не входит; в выражение же составляемое для сечения, расположенного на расстоянии правее силы Р, она входит.
Итак, в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенной силы), значение поперечной силы Q изменяется скачкообразно на величину приложенной силы. Когда сосредоточенная внешняя сила направлена вверх, на эпюре Q (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх, а когда сила направлена вниз - скачок вниз.
Аналогично в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент (в том числе и опорная реакция в виде сосредоточенного момента), значение изгибающего момента М изменяется скачкообразно на величину приложенного момента. Когда сосредоточенный внешний момент действует по часовой стрелке, на эпюре М (при перемещении слева направо) имеется скачок вверх; а когда момент действует против часовой стрелки - скачок вниз. Так, например, в сечении G балки, в котором приложен к ней сосредоточенный момент (рис. 10.7, а), на эпюре М (рис. 10.7, в) имеется скачок вверх (при перемещении слева направо), равный а в сечении В-скачок вниз, равный (т. е. равный реакции опоры В в виде сосредоточенного момента, направленного против часовой стрелки).
Построим теперь эпюры Q и М для простой балки на двух опорах, изображенной на рис. 11.7, а. Балка состоит из двух участков.
Определим вертикальные опорные реакции RA и RB балки. В опоре А может возникать и горизонтальная реакция, однако при заданной вертикальной нагрузке она равна нулю. Для определения реакций и RB составим уравнения равновесия в виде сумм моментов всех сил относительно точек А и В.