Расчет металлических конструкций надлежит производить по методу предельных состояний или допускаемых. напряжений. В сложных случаях вопросы расчета конструкций и их элементов рекомендуется решать путем специально поставленных теоретических и экспериментальных исследований. Прогрессивный метод расчета по предельным состояниям базируется на статистическом изучении действительной нагруженности конструкций в условиях эксплуатации, а также изменчивости механических свойств применяемых материалов. При отсутствии достаточно подробного статистического изучения действительной нагруженности конструкций тех или иных типов кранов расчеты их ведутся по методу допускаемых напряжений, базирующемуся на установленных практикой коэффициентах запаса прочности.
При плоском напряженном состоянии в общем случае условию пластичности по современной энергетической теории прочности отвечает приведенное напряжение
где σ х и σ у - напряжения по произвольным взаимно перпендикулярным осям координат х иу . При σ у = 0
σ пр = σ Т , (170)
а если σ = 0, то предельные касательные напряжения
τ = = 0,578 σ Т ≈ 0,6 σ Т . (171)
Кроме расчетов на прочность для отдельных типов кранов существуют ограничения величин прогибов, которые имеют вид
f/l ≤ [f/l ], (172)
где f/l и [f/l ]- расчетное и допускаемое значения относительного статического прогиба f по отношению к пролету (вылету) l .Значительные прогибы могут быть. безопасны для самой конструкции, но неприемлемы с эксплуатационной точки зрения.
Расчет по методу предельных состояний производится по нагрузкам, приведенным в табл. 3.
Примечания к таблице:
1. Комбинации нагрузок предусматривают следующую работу механизмов: . Iа и IIa – кран неподвижен; плавный (Ia) или резкий (IIа) подъем груза с земли или торможение его при опускании; Ib и IIb - кран в движении; плавный (Ib) и резкий (IIb) пуск или торможение одного из механизмов. В зависимости от типа крана возможны также комбинации нагрузок Ic и IIc и т. д.
2. В табл. 3 приведены нагрузки, постоянно действующие и регулярно возникающие при эксплуатации конструкций, образующие так называемые основные сочетания нагрузок.
Чтобы учесть меньшую вероятность совпадения расчетных нагрузок при более сложных их сочетаниях, вводятся коэффициенты сочетаний n с < 1, на которые умножаются коэффициенты перегрузок всех нагрузок, за исключением постоянной. Коэффициент сочетаний основных и дополнительных нерегулярно возникающих нагрузок, к которым относятся технологические, транспортные и монтажные нагрузки, а также нагрузки от температурных воздействий, принимается равным 0,9; коэффициент сочетаний основных, дополнительных и особых нагрузок (нагрузки от удара о буфера и сейсмические) – 0,8.
3. Для некоторых элементов конструкций следует учитывать суммарное воздействие как комбинации нагрузок Ia со своим количеством циклов, так и комбинации нагрузок Ib со своим количеством циклов.
4. Угол отклонения груза от вертикали а. может также рассматриваться как результат косого подъема груза.
5. Давление ветра рабочего Р b II и нерабочего - ураганного Р b III - на конструкцию определяется по ГОСТ 1451-77. При комбинации нагрузок Ia и Ib давление ветра на конструкцию обычно не учитывается в силу малой повторяемости в год расчетных скоростей ветра. Для высоких кранов, имеющих период свободных колебаний низшей частоты более 0,25 с и установленных в ветровых районах IV-VIII по ГОСТ 1451-77, учитывается давление ветра на конструкцию при комбинации нагрузок Ia и Ib.
6. Технологические нагрузки могут относиться как к случаю нагрузок II, так и к случаю нагрузок III.
Таблица 3
Нагрузки при расчетах по методу предельных состояний
Предельными называются состояния, при которых конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям. Метод расчета по предельным состояниям имеет целью не допускать наступления предельных состояний при эксплуатации в течение всего срока службы конструкции.
Металлические конструкции ТТ (подъемно-транспортных машин) должны удовлетворять требованиям двух групп предельных состояний: 1) потеря несущей способности элементов крана по прочности или потеря устойчивости от однократного действия наибольших нагрузок в рабочем или нерабочем состоянии. Рабочим считается состояние, при котором кран выполняет свои функции (табл. 3, случай нагрузок II). Нерабочим считается состояние, когда кран без груза подвержен только нагрузкам от собственного веса и ветра или находится в процессе монтажа, демонтажа и транспортировки (табл. 3, случай нагрузок III); потеря несущей способности элементов крана вследствие разрушения от усталости при многократном действии нагрузок различной величины за расчетный срок службы (табл. 3, случай нагрузок I, а иногда и II); 2) непригодность к нормальной эксплуатации вследствие недопустимых упругих деформаций или колебаний, которые влияют на работу крана и его элементов, а также обслуживающего персонала. Для второго предельного состояния по развитию чрезмерных деформаций (прогибов, углов поворота) предельное условие (172) устанавливается для отдельных типов кранов.
Наибольшее значение имеют расчеты по первому предельному состоянию, так как при рациональном проектировании конструкции должны удовлетворять требованиям второго предельного состояния.
Для первого предельного состояния по несущей способности (прочности или устойчивости элементов) предельное условие имеет вид
N ≤ Ф ,(173)
где N - расчетная (наибольшая) нагрузка в рассматриваемом элементе, выраженная в силовых факторах (сила, момент, напряжение); Ф - расчетная несущая способность (наименьшая) элемента соответственно силовым факторам.
При расчетах по первому предельному состоянию на прочность и устойчивость элементов для определения нагрузки N в формуле (171) так называемые нормативные нагрузки Р Н i (для конструкций подъемно-транспортных машин это максимальные нагрузки рабочего состояния, вводимые в расчет как на основании технических условий, так и на основании опыта проектирования и эксплуатации) умножаются на коэффициент перегрузки соответствующей нормативной нагрузки n i , после чего произведение Р Hi п i представляет собой наибольшую возможную за время эксплуатации конструкции нагрузку, называемую расчетной. Таким образом, расчетное усилие в элементе N в соответствии с расчетными сочетаниями нагрузок, приведенных в табл. 3, может быть представлено в виде
, (174)
где α i – усилие в элементе при Р Н i = 1, а расчетный момент
, (175)
где М Н i – момент от нормативной нагрузки.
Дляопределения коэффициентов перегрузки необходимо статистическое изучение изменчивости нагрузок по опытным данным. Пусть для данной нагрузки P i известна ее кривая распределения (рис. 63). Поскольку кривая распределения всегда имеет асимптотическую часть, при назначении расчетной нагрузки надлежит иметь в виду, что нагрузки, которые больше расчетных(на рис. 63 область этих нагрузок заштрихована), могут вызвать повреждение элемента. Принятие больших значений для расчетной нагрузки и коэффициента перегрузки уменьшает вероятность повреждений и снижает убытки от поломок и аварий, но приводит к увеличению веса и стоимости конструкций. Вопрос о рациональном значении коэффициента перегрузки должен решаться с учетом экономических соображений и требований безопасности. Пусть для рассматриваемого элемента известны кривые распределения расчетного усилия N и несущей способности Ф. Тогда (рис. 64) заштрихованная площадь, в границах которой нарушается предельное условие (173), будет характеризовать вероятность разрушения.
Приведенные в табл. 3 коэффициенты перегрузки n > 1, так как они учитывают возможность превышения действительными нагрузками их нормативных значений. В случае, если опасным является не превышение, а уменьшение действительной нагрузки по сравнению с нормативной (например, нагрузка на консоли балки, разгружающая пролетное строение, при расчетном сечении в пролете), коэффициент перегрузки для такой нагрузки следует принимать равным обратной величине, т. е. n" = 1/n < 1.
Для первого предельного состояния по потере несущей способности от усталости предельное условие имеет вид
σ пр ≤ m К R, (176)
где σ пр – приведенное напряжение, а m К – см. формулу (178).
Расчеты по второму предельному состоянию по условию (172) производятся при коэффициентах перегрузки, равных единице, т. е. по нормативным нагрузкам (вес груза принимается равным номинальному).
Функция Ф в формуле (173) может быть представлена в виде
Ф = Fm К R , (177)
где F – геометрический фактор элемента (площадь, момент сопротивления и т. д.).
Под расчетным сопротивлением R следует понимать при расчетах:
на сопротивление усталости – предел выносливости элемента (с учетом числа циклов изменения нагрузки и коэффициентов концентрации и асимметрии цикла), умноженный на соответствующий коэффициент однородности по усталостным испытаниям, характеризующий разброс результатов испытаний, k 0 = 0,9, и деленный на k м – коэффициент надежности по материалу при расчетах на прочность, характеризующий как возможность изменения механических качеств материала в сторону их снижения, так и возможность уменьшения площадей сечения проката из-за установленных стандартами минусовых допусков; в соответствующих случаях следует учесть снижение первоначального предела выносливости нагрузками второго расчетного случая;
на прочность при постоянных напряжениях R = R п /k м – частное от деления нормативного сопротивления (нормативного предела текучести) на соответствующий коэффициент надежности по материалу; для углеродистой стали k м = 1,05, а для низколегированной – k м = 1,1; таким образом, в отношении работы материала за предельное состояние принята не полная потеря его способности воспринимать нагрузку, а наступление больших пластических деформаций, препятствующих дальнейшему использованию конструкции;
на устойчивость -- произведение расчетного сопротивления на прочность на коэффициент уменьшения несущей способности сжимаемых (φ, φ вн) или изгибаемых (φ б) элементов.
Коэффициенты условий работы m К зависят от обстоятельств работы элемента, которые не учитываются расчетом и качеством материала, т. е. не входят ни в усилие N, ни в расчетное сопротивление R .Таких основных обстоятельств три, и поэтому можно принять
m K = m 1 m 2 m 3 , (178)
где m 1 – коэффициент, учитывающий ответственность рассчитываемого элемента, т. е. возможные последствия от разрушения; следует различать следующие случаи: разрушение не вызывает прекращения работы крана, вызывает остановку крана без повреждения или с повреждением других элементов и, наконец, вызывает разрушение крана; коэффициент m 1 может находиться в пределах 1–0,75, в особых случаях (хрупкое разрушение) m 1 = 0,6; m 2 – коэффициент, учитывающий возможные повреждения элементов конструкции в процессе эксплуатации, транспортировки и монтажа, зависит от типов кранов; можно принимать т 2 = 1,0÷0,8; т 3 – коэффициент, учитывающий несовершенства расчета, связанные с неточным определением внешних сил или расчетных схем. Он должен устанавливаться для отдельных типов конструкций и их элементов. Можно принимать для плоских статически определимых систем т 3 = 0,9, .а для статически неопределимых –1, для пространственных –1,1. Для изгибаемых элементов по сравнению с испытывающими растяжение-сжатие т 3 = 1,05. Таким образом, расчет по первому предельному состоянию на прочность при постоянных напряжениях производится по формуле
σ II <. m K R, (179)
а на сопротивление усталости, если переход к предельному состоянию осуществляется за счет увеличения уровня переменной напряженности, – по формуле (176), где расчетное сопротивление R определяется по одной из следующих формул:
R = k 0 σ -1К /k м;(180)
R N = k 0 σ -1К N /k м; (181)
R* = k 0 σ -1К /k м;(182)
R* N = k 0 σ -1К N /k м; (183)
где k 0 , k м - коэффициенты однородности по усталостным испытаниям и надежности по материалу; σ –1K , σ –1KN , σ * –1K , σ * –1KN – пределы выносливости неограниченный, ограниченный, сниженный неограниченный, сниженный ограниченный соответственно.
Расчет по методу допускаемых напряжений производится по нагрузкам, приведенным в табл.4. Необходимо учитывать все примечания к табл. 3, кроме примечания 2.
Значения запасов прочности даны в табл. 5 и зависят от обстоятельств работы конструкции, не учитываемых расчетом, как например: ответственность, имея в виду последствия от разрушения; несовершенства расчета; отклонения в размерах и качестве материала.
Расчет по методу допускаемых напряжений производится в случаях отсутствия численных значений для коэффициентов перегрузки расчетных нагрузок для выполнения расчета по методу предельных состояний. Расчет на прочность производится по формулам:
σ II ≤ [σ ] = σ T / n II , (184)
σ III ≤ [σ ] = σ T / n III , (185)
где n II и n III – см. в табл. 5. При этом допускаемые напряжения на изгиб принимают на 10 МПа (примерно на 5 %) больше, чем на растяжение (для Ст3 180 МПа), учитывая, что при изгибе текучесть сначала проявляется только в крайних фибрах и распространяется затем постепенно на все сечение элемента, повышая его несущую способность, т. е. при изгибе имеет место перераспределение напряжений по сечению за счет пластических деформаций.
При расчете на сопротивление усталости, если переход к предельному состоянию осуществляется за счет увеличения уровня переменной напряженности, должно выполняться одно из следующих условий:
σ пр ≤ [σ –1K ]; (186)
σ пр ≤ [σ –1K N ]; (187)
σ пр ≤ [σ * –1K ]; (188)
σ пр ≤ [σ * –1KN ]; (189)
где σ пр - приведенное напряжение; [σ –1K ], [σ –1K N ], [σ * –1K ], [σ * –1KN ] – допускаемые напряжения, при определении которых используется выражение [σ ] = σ –1K / n 1 или аналогично формулам (181) – (183) вместо σ –1K используются σ –1KN , σ * –1K и σ * –1KN . Запас прочности n I такой, как и при расчете статической прочности.
Рисунок 65 – Схема к расчету запаса по усталостной долговечности
Если переход к предельному состоянию осуществляется за счет увеличения числа циклов повторения переменных напряжений, то при расчете на ограниченную долговечность запас по усталостной долговечности (рис. 65) n д = Np/ N . Так как σ т пр Np = σ т –1K N б = σ т –1K N N ,
n д = (σ –1K N / σ пр) т = п т 1 (190)
и при n l = 1,4 и К = 4 n д ≈ 2,75, а при К = 2 n д ≈ 7,55.
При сложном напряженном состоянии наиболее соответствует экспериментальным данным гипотеза наибольших касательных октаэдрических напряжений, в соответствии с которой
(191)
и . Тогда запас прочности при симметричных циклах
|
т. е. п = n σ n τ / , (192)
где σ -IK и τ -lК - предельные напряжения (пределы выносливости), а σ а и τ a – амплитудные значения действующего симметричного цикла. Если циклы асимметричные, их следует привести к симметричным по формуле типа (168).
Прогрессивность.метода расчета по предельным состояниям заключается в том, что при расчетах по этому методу лучше учитывается действительная работа конструкций; коэффициенты перегрузки различны для каждой из нагрузок и определяются на основе статистического изучения изменчивости нагрузок. Кроме того, с помощью коэффициента надежности по материалу лучше учитываются механические качества материалов. В то время как при расчете по методу допускаемых напряжений надежность конструкции обеспечивается единым коэффициентом запаса, при расчете по методу предельных состояний вместо единого коэффициента запаса используется система трех коэффициентов: надежности по материалу, перегрузки и условий работы, устанавливаемых на основании статистического учета условий работы конструкции.
Таким образом, расчет по допускаемым напряжениям есть частный случай расчета по первому предельному состоянию, когда коэффициенты перегрузки для всех нагрузок одинаковы. Однако надо подчеркнуть, что метод расчета по предельным состояниям понятия запаса прочности не использует. Его не использует также разрабатываемый в настоящее время для краностроения вероятностный метод расчета. Выполнив расчет по методу предельных состояний, можно определить значение получающегося при этом коэффициента запаса прочности по методу допускаемых напряжений. Подставляя в формулу (173) значения N [см. формулу (174)] и Ф [см. формулу (177)] и переходя к напряжениям, получим значение запаса прочности
п = Σσ i n i k M / (m K Σσ i ). (193)
Многие детали машин в процессе работы испытывают переменные во времени напряжения (чаще циклические): детали кривошипно-шатунного механизма, ось транспортного средства, валы редукторов и т.д. Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит. Пример - проволока. Число циклов до разрушения зависит от материала и амплитуды напряжений и меняется в широких пределах. Разрушение материала при действии переменных напряжений называется усталостью.
Рассказать о механизме разрушения. Он носит местный характер. Накопление усталостных повреждений приводит к образованию макротрещины. К разрушению приводит развитие усталостной трещины.
Чаще всего встречается и наиболее опасен для материала гармонический закон изменения напряжений. Цикл напряжений характеризуется следующими параметрами:
Максимальные и минимальные напряжения цикла;
Среднее напряжение цикла
Амплитуда цикла: ;
Коэффициент асимметрии цикла:
Рисунок 1. Характеристики цикла напряжений
Такой цикл называется симметричным.
Такой цикл называется пульсирующим.
Все термины и определения справедливы и для переменных касательных напряжений, если заменить на.
Предел выносливости
Для расчетов на прочность при переменных напряжениях необходимо знать механические характеристики материалов, которые определяются путем специальных испытаний. Берется гладкий полированный стержень круглого сечения и длиной. Его подвергают симметричному циклу при различных амплитудах. Дать схему испытательной машины и методику проведения испытаний. Образец доводят до разрушения и определяют число циклов до разрушения. Полученная кривая называется кривой усталости или кривой Велера. (рисунок 2).
Рисунок 2. Кривая усталости
Эта кривая примечательна тем, что, начиная с некоторого напряжения, она идет практически горизонтально. Это значит, что при напряжениях меньших некоторого предельного напряжения образец может выдержать бесчисленное множество циклов.
Максимальные переменные напряжения, который материал способен выдержать без разрушения, при любом числе циклов, называют пределом выносливости и обозначают.
Опыты обычно производят до базового числа циклов. Для углеродистых сталей принимают, для закаленных сталей и цветных металлов. Опытным путем установлены эмпирические зависимости:
Факторы, влияющие на величину предела выносливости
Предел выносливости деталей зависит не только от свойств материала, но и от их формы, размеров, способов изготовления.
Влияние концентрации напряжений.
В местах резкого изменения размеров ПС детали (отверстия, выточки, галтеки, шпоночные пазы, резьбы) как известно, возникает местное повышение напряжений. Это явление называется концентрацией напряжений. Она снижает детали по сравнению с образца. Это снижение учитывается эффективным коэффициентом концентрации напряжений, который определяется экспериментально. Он равен отношению пределов выносливости гладкого образца к образца с данным концентратором напряжений.
Значения приводятся в справочниках.
Влияние размеров деталей.
Экспериментально установлено, что с увеличением размеров образца, понижается. Влияние размеров образца на учитывается масштабным коэффициентом, который определяется экспериментально и равен отношению
Обычно берут. Они приводятся в справочниках.
Влияние состояние поверхности детали.
Наличие на поверхности детали рисок, царапин, неровностей приводит к уменьшению предела выносливости детали. Состояние поверхности детали зависит от вида механической обработки. Влияние состояния поверхности на величину детали учитывается коэффициентом, который определяется экспериментально и равен:
Этот коэффициент приводится в справочниках.
Все вышеуказанные факторы можно учесть одним коэффициентом изменения предела выносливости.
Тогда предел выносливости детали
Если провести испытание стандартного образца из исследуемого материала в условиях несимметричного цикла напряжений, то получим диаграмму предельных напряжений, показанную на рисунке 3.
Рисунок 3. Диаграмма предельных напряжений
Рассказать о методике проведения испытаний и построения диаграммы.
Эта диаграмма позволяет судить о близости рабочих условий к предельным. Для этого на диаграмму наносится рабочая точка (В)с координатами
где и расчетные значения среднего и амплитудного напряжения в детали. Здесь амплитуда напряжения увеличена с учетом снижения предела выносливости детали. По степени близости рабочей точки к предельной кривой судят об опасности рабочих условий. Если рабочая точка окажется за диаграммой, то непременно произойдет усталостное разрушение.
Построение этой диаграммы требует больших затрат времени и материальных ресурсов. Поэтому реальную диаграмму схематизируют прямой CD. тогда эту диаграмму можно построить без проведения экспериментов.
Определение коэффициента запаса при переменных напряжениях
Коэффициент запаса очевидно равен отношению отрезка ОА к отрезку ОВ (рисунок 3). После геометрических построений получим:
где коэффициент чувствительности материала к ассиметрии цикла.
При действии переменных касательных напряжений
Коэффициенты приводятся в справочниках.
При одновременном действии переменных нормальных и касательных напряжений общий коэффициент запаса
На рубеже XIX-XX вв. в связи с созданием и вхождением в повседневный быт новых типов машин, установок и транспортных средств, работающих при нагрузках, циклически изменяющихся во времени, выяснилось, что существующие методы расчета не обеспечивали надежные результаты расчета таких конструкций. Впервые с подобным явлением столкнулись па железнодорожном транспорте, когда случился ряд катастроф, связанных с изломом осей вагонов и паровозов.
В дальнейшем выяснилось, что причиной разрушения явились переменные напряжения, которые возникали при движении железнодорожного состава по причине вращения оси вагона вместе с колесами. Однако первоначально было высказано предположение о том, что в процессе длительной эксплуатации металл изменяет свою кристаллическую структуру - устает. Данное предположение не подтвердилось, однако название «расчеты па усталость» сохранилось в инженерной практике.
По результатам дальнейших исследований было установлено, что усталостное разрушение обусловлено процессами накопления в материале детали локальных повреждений и развитием трещин. Именно такие процессы, возникающие при эксплуатации различных машин, транспортных средств, станков и других установок, подверженных вибрационным и другим видам переменных во времени нагрузок, будут рассмотрены далее.
Рассмотрим цилиндрический образец, закрепленный в шпинделе одним концом, на другом, свободном, конце которого через подшипник приложена сила F (рис. 16.1).
Рис. 16.1.
Эпюра изгибающего момента образца меняется по линейному закону, и его максимальная величина равна FI. В точках поперечного сечения образца А и В возникают максимальные но абсолютной величине напряжения. Величина нормального напряжения в точке Л составит
В случае вращения образца с угловой скоростью со точки поперечного сечения изменяют свое положение относительно плоскости действия изгибающего момента. За время t характерная точка А повернется на угол ф = со/ и окажется в новом положении А" (рис. 16.2, а).
Рис. 16.2.
Напряжение в новом положении этой же материальной точки будет равно
Аналогично можно рассмотреть другие точки и прийти к выводу о том, что при вращении образца за счет изменения положения точек нормальные напряжения изменяются по закону косинуса (рис. 16.2, б).
Для объяснения процесса усталостного разрушения придется отказаться от основополагающих гипотез о материале, а именно от гипотезы сплошности и гипотезы однородности. Реальные материалы не являются идеальными. Как правило, в материале изначально присутствуют дефекты в виде несовершенств кристаллической решетки, пор, микротрещин, посторонних включений, являющихся причиной структурной неоднородности материала. В условиях циклического нагружения структурная неоднородность приводит к неоднородности поля напряжений. В наиболее слабых местах детали зарождаются микротрещины, которые под действием переменных во времени напряжений начинают расти, сливаться, превращаясь в магистральную трещину. Попадая в зону растяжения, трещина раскрывается, а в зоне сжатия, наоборот, закрывается.
Малой величины локальная область, в которой возникает первая трещина и откуда начинается ее развитие, называется фокусом усталостного разрушения. Такая область, как правило, находится у поверхности деталей, но не исключено ее появление в глубине материала, если там окажется какое-либо повреждение. Не исключено и одновременное существование нескольких таких областей, и поэтому разрушение детали может начаться из нескольких центров, которые конкурируют между собой. В результате развития трещин сечение ослабляется до тех нор, пока не произойдет разрушение. После разрушения зону развития усталостной трещины сравнительно легко распознать. В сечении детали, разрушенной от усталости, имеются две резко различающиеся области (рис. 16.3).
Рис. 16.3.
1 - область роста трещины; 2 - область хрупкого разрушения
Область 1 характеризуется блестящей гладкой поверхностью и соответствует началу процесса разрушения, который протекает в материале с относительно малой скоростью. На заключительном этапе процесса, когда сечение достаточно сильно ослабнет, происходит быстрое лавинообразное разрушение детали. Этому заключительному этану на рис. 16.3 соответствует область 2, которая характеризуется шероховатой грубой поверхностью из-за быстрого окончательного разрушения детали.
Следует отметить, что теоретическое изучение усталостной прочности металлов связано со значительными трудностями в силу сложности и многофакторности данного явления. По этой причине важнейшим инструментом становится феноменологический подход. В своем большинстве формулы для расчета деталей на усталость получены на основе экспериментальных результатов.
Расчеты по нормальным и касательным напряжениям проводятся аналогично.
Расчетные коэффициенты выбираются по специальным таблицам.
При расчетах определяют запасы прочности по нормальным и касательным напряжениям.
Запас прочности по нормальным напряжениям:
Запас прочности по касательным напряжениям:
где σ а - амплитуда цикла нормальных напряжений; τ а - амплитуда цикла касательных напряжений.
Полученные запасы прочности сравнивают с допускаемыми. Представленный расчет является проверочным и проводится при конструировании детали.
Контрольные вопросы и задания
1. Изобразите графики симметричного и отнулевого циклов изменения напряжений при повторно-переменных напряжениях.
2. Перечислите характеристики циклов, покажите на графиках среднее напряжение и амплитуду цикла. Что характеризует коэффициент асимметрии цикла?
3. Опишите характер усталостных разрушений.
4. Почему прочность при повторно-переменных напряжениях
ниже, чем при постоянных (статических)?
5. Что называют пределом выносливости? Как строится кривая усталости?
6. Перечислите факторы, влияющие на сопротивление усталости.
306 Практическое занятие 6
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО РАЗДЕЛУ
«Сопротивление материалов»
Практическое занятие 6
Тема 2.2. Расчеты на прочность и жесткость
При растяжении и сжатии
Знать порядок расчетов на прочность и жесткость и расчетные формулы.
Уметь проводить проектировочные и проверочные расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Необходимые формулы
Нормальное напряжение
где N - продольная сила; А -площадь поперечного сечения.
Удлинение (укорочение) бруса
Е - модуль упругости; I - начальная длина стержня.
Допускаемое напряжение
[ s ] - допускаемый запас прочности.
Условие прочности при растяжении и сжатии:
Примеры расчетов на прочность и жесткость
Пример 1. Груз закреплен на стержнях и находится в равновесии (рис. П6.1). Материал стержней - сталь, допускаемое напряжение 160 МПа. Вес груза 100 кН. Длина стержней: первого - 2 м, второго - 1м. Определить размеры поперечного сечения и удлинение стержней. Форма поперечного сечения - круг.
Практическое занятие 6 307
Решение
1. Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие
точки В,
определим реакции стержней. По пятой аксиоме статистики (закону действия и противодействия) реакция стержня численно
равна нагрузке на стержень.
Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей (рис. П6.1).
Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей координат совпала с неизвестной силой (рис. П6.1б).
Составим систему уравнений равновесия для точки В:
Решаем систему уравнений и определяем реакции стержней.
R 1 = R 2 cos60°; R 1= 115,5 ∙ 0,5 = 57,4кН.
Направление реакций выбрано верно. Оба стержня сжаты. Нагрузки на стержни: F 1= 57,4кН; F 2 = 115, 5 кН.
2. Определяем потребную площадь поперечного сечения стержней из условий прочности.
Условие прочности на сжатие: σ = N / A ≤ [σ] , откуда
Стержень 1 (N 1 = F 1):
308 Практическое занятие 6
Полученные диаметры округляем: d 1 = 25мм, d 2= 32 мм.
3. Определяем удлинение стержней Δ l = ----- .
Укорочение стержня 1:
Укорочение стержня 2:
Пример 2. Однородная жесткая плита с силой тяжести 10 кН, нагруженная силой F = 4,5 кН и моментом т = ЗкН∙м, оперта в точке А и подвешена на стержне ВС (рис. П6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1м, материал - сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.
Решение
1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил. Система находится в равновесии, можно использовать уравнение равновесия для плиты: ∑т А = 0.
Rb - реакция стержня, реакции шарнира А не рассматриваем.
Практическое занятие 6 309
По третьему закону динамики реакция в стержне равна силе, действующей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14 кН.
2. По условию прочности определяем потребную величину площади попе
речного сечения: о
= N / A
^ [а],
откуда А
> N /[ a ].
Допускаемое напряжение для материала стержня
Следовательно,
3. Подбираем сечение стержня по ГОСТ (Приложение 1).
Минимальная площадь швеллера 6,16 см 2 (№ 5; ГОСТ 8240-89).
Целесообразнее использовать равнополочный уголок № 2
(d = Змм),- площадь поперечного сечения которого 1,13см 2 (ГОСТ 8509-86).
4. Определить удлинение стержня:
На практическом занятии выполняется расчетно-графическая работа и проводится тестовый опрос.
Расчетно-графическая работа
Задание 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1, F 2 , F 3- Площади поперечных сечений А 1и А 2 .
310 Практическое занятие 6
Задание 2. Балка АВ, на которую действуют указанные нагрузки, удерживается в равновесии тягой ВС. Определить размеры поперечного сечения тяги для двух случаев: 1) сечение - круг; 2) сечение - уголок равнополочный по ГОСТ 8509-86. Принять [σ] = 160 МПа. Собственный вес конструкции не учитывать.
Практическое занятие 6 311
При защите работы ответить на вопросы тестового задания.
312 Практическое занятие 6
Тема 2.2. Растяжение и сжатие.
Расчеты на прочность и жесткость
Практическое занятие 7 313
Практическое занятие 7